− 1 2⌈nbn⌉−1∑ i1=1 Ỹi1,(k1−1)p+j1 2⌈nbn⌉−1∑ i2=1 Ỹi2,(k2−1)p+j2 ) = E( ∑2⌈nbn⌉−1 i1=1 Z̃i1,(k1−1)p+j1 ∑2⌈nbn⌉−1 i2=1 Z̃i2,(k2−1)p+j2) 2⌈nbn⌉ − 1 = E( ∑2⌈nbn⌉−1 i1=1 Zi1+(k1−1),⌈nbn⌉+(k1−1),j1 ∑2⌈nbn⌉−1 [...] (k2−1)p+j2 = 1 2⌈nbn⌉−1 E ( 2⌈nbn⌉−1∑ i1=k2−k1+1 Zi1+(k1−1),⌈nbn⌉+(k1−1),j1 2⌈nbn⌉−(k2−k1)−1∑ i2=1 Zi2+(k2−1),⌈nbn⌉+(k2−1),j2 ) +O((nbn) −1) = 1 2⌈nbn⌉−1 E ( 2⌈nbn⌉−(k2−k1)−1∑ i1,i2=1 Gj1,i1,k2K( i1+k2−k1−⌈nbn⌉ [...] consider k1 ≤ k2. Again by (B.11) E ( k2−k1∑ i1=1 Zi1+(k1−1),⌈nbn⌉+(k1−1),j1 2⌈nbn⌉−1∑ i2=1 Zi2+(k2−1),⌈nbn⌉+(k2−1),j2 ) = O ( k2−k1∑ i1=1 2⌈nbn⌉−1∑ i2=1 χ|i2−i1+k2−k1| ) = O ( k2−k1∑ i1=1 2⌈nbn⌉−1∑ i2=1 χi2−i1+k2−k1 …

64 1.33 55 1.38 53 1.38 42 1.37 62 1.35 72 1.25 71 1.27 70 1.29 37 1.33 19 1.41 Öffentliche Träger 54 1.51 28 1.36 50 1.50 67 1.41 78 1.26 65 1.44 56 1.49 55 1.49 35 1.43 66 1.42 75 1.29 72 1.34 73 1.33 [...] 23 1.27 17 1.13 16 1.12 7 0.76 17 1.16 37 1.45 20 1.19 23 1.25 9 0.83 34 1.53 Öffentliche Träger 28 1.50 11 1.06 26 1.44 45 1.63 40 1.59 21 1.36 15 1.17 13 1.12 3 0.58 13 1.14 34 1.54 20 1.32 24 1.40 12 [...] Kindern 51 1.33 31 1.24 50 1.32 68 1.23 74 1.16 63 1.28 56 1.31 55 1.31 41 1.30 65 1.26 73 1.17 72 1.18 72 1.18 43 1.30 19 1.35 Einrichtungen mit 76 und mehr Kindern 46 1.38 24 1.18 39 1.35 64 1.33 73 1.22 64 …

0, -1, 0, -1; 0, 1, 1, 1; εaba; abaa • 0, 0, 1, 1; 0, -1, 0, 1; εaba; abaa • 0, 1, 1, 1; 0, 1, 1, 1; εaba; εaaa • 0, 1, 1, 1; 0, 1, 1, -1; abaa; εaaa • 0, 1, 1, 1; 0, -1, -1, 0; abaa; εaaa • 0, 1, 0, 1; [...] 1; 0, 1, 0, 1; abaa; abaa • 0, -1, 1, 1; 0, 0, 0, 1; abaa; abaa Aufgabe 12.2 Erstellen Sie einen Aho-Corasick-Automaten für die Texte {an, bibi, iban, anna, banbi}. Aufgabe 12.3 Erstellen Sie einen S [...] Algorithmen auf Sequenzen Blatt 12 Ausgabe: Donnerstag, 09. Juli Besprechung: Dienstag, 14. Juli Aufgabe 12.1 Erstellen Sie mit dem Four-Russians-Trick ein globales Alignment für die Texte r = ababaa, s = aaabaa …

3 −N 1 6 ρ(y,N) = 1 N 1 3 ⌊yN 1 3 ⌋−1∑ l=0 1 N 1 3 l∑ k=0 ( k + 1 2N 1 3 N 1 6 qk+1 − |a1|N 1 6 qk + k 2N 1 3 N 1 6 qk−1 ) = 1 N 1 3 ⌊yN 1 3 ⌋−1∑ l=0 1 N 1 3 l∑ k=0 ( N 1 6 qk ( k + 1 2 N 1 3 − |a1| )) [...] := N 1 6 ρ(y,N) + 1 N 2 3 ⌊yN 1 3 ⌋−1∑ l=0 l + 1 2N 1 3 (ql+1 − ql) − yN 1 3 − ⌊yN 1 3 ⌋ − 1 2 N 1 3 1 N 1 3 ⌊yN 1 3 ⌋−1∑ k=0 N 1 6 qk ( k + 1 2 N 1 3 − |a1| ) − 1 2 ( yN 1 3 − ⌊yN 1 3 ⌋ N 1 3 )2 N 1 6 q⌊yN [...] = N 1 6 ρ(y,N) + 1 N 2 3 ⌊yN 1 3 ⌋−1∑ l=0 l + 1 2N 1 3 (ql+1 − ql) − yN 1 3 − ⌊yN 1 3 ⌋ − 1 2 N 1 3 1 N 1 3 ⌊yN 1 3 ⌋−1∑ k=0 N 1 6 qk ( k + 1 2 N 1 3 − |a1| ) − 1 2 ( yN 1 3 − ⌊yN 1 3 ⌋ N 1 3 )2 N 1 6 q⌊yN …

Sachsen 2,858 1,212 42.4 163 5.7 1,425 49.9 40 1.4 18 0.6 Sachsen-Anhalt 1,518 144 9.5 92 6.1 1,261 83.1 . . . . Schleswig-Holstein 1,870 389 20.8 52 2.8 1,385 74.1 21 1.1 23 1.2 Thüringen 1,567 231 14.7 [...] hald 42,014 7,741 1,999 25.8 1,481 19.1 1,777 23.0 778 10.1 313 4.0 227 2.9 1,166 15.1 22,607 1,860 8.2 4,059 18.0 6,967 30.8 5,055 22.4 2,514 11.1 1,197 5.3 955 4.2 11,666 386 3.3 1,459 12.5 4,369 37 [...] 0 28 1.8 24 1.6 Schleswig-Holstein 1,980 973 49.1 541 27.3 366 18.5 61 3.1 39 2.0 Thüringen 1,591 929 58.4 495 31.1 115 7.2 26 1.6 26 1.6 Westdeutschland 45,692 26,996 59.1 8,856 19.4 7,333 16.0 1,224 2 …

µ)θK2(µ1, µ)1−θf1f2f3 dµ1dµ = ∫ R2n (K1(µ1, µ)f1f2f3) 1 p (K2(µ1, µ)f1f2f3) 1 p′ dµ1dµ ≤ ( ∫ R2n K1(µ1, µ)f1f2f3dµ1dµ ) 1 p ( ∫ R2n K2(µ1, µ)f1f2f3dµ1dµ ) 1 p′ ≤ Aθ 1A 1−θ 2 3 ∏ i=1 ‖fi‖L2(Rn) Proposition 3 [...] that λ1 + λ2 − λ = ν(ξ1) + (ξη1 − ηξ1) 2 ξξ1ξ2 + (ξη̃1 − η̃ξ1) 2 ξξ1ξ2 (3.63) Therefore, it follows that |∂η1(λ1 + λ2)| = 2|ξ ξη1 − ηξ1 ξξ1ξ2 | ≥ |ξ| 1 2 |ξ1| 1 2 |ξ2| 1 2 ( |ξη1 − ηξ1| |ξ| 1 2 |ξ1| 1 2 |ξ2| [...] χ|ξη1−ηξ1|≥|ξη̃1−η̃ξ1| |ξ| α 2 |ξ1| −1 〈λ1〉2b〈λ2〉2b dτ1dξ1dη1 ) dη̃1 For fixed µ and η̃1, we use the change of variables S : (τ1, ξ1, η1) 7→ (ν, λ1, λ2), where ν(ξ1) := ξ|ξ|α − ξ1|ξ1| α − ξ2|ξ2| α. Observe …

n0 gilt (−1)n0 (an − an0) = (−1)n0 n∑ k=n0+1 (−1)k−1 k da ((−1)n0 )2=1= 1 n0+1 − 1 n0+2 + · · ·+ (−1)n−1+n0 n =  ( 1 n0+1 − 1 n0+2 ) + · · ·+ ( 1 n−1 − 1 n ) falls n− n0 gerade( 1 n0+1 − 1 n0+2 ) + · [...] ωn+1 = xn+1√ a = 1 2 √ a ( xn + a xn ) = 1 2 ( 1 + ωn + 1 1+ωn ) ⇒ ωn+1 = 1 2 ( (1+ωn)2+1 1+ωn ) − 1 = (1+ωn)2+1−2(1+ωn) 2(1+ωn) = ω2 n+2ωn+2−2−2ωn 2(1+ωn) = ω2 n 2(1+ωn) ≤ 1 2 min(ωn, ω2 n) Die Konvergenz [...] gilt auch n+1∑ k=0 ak = n∑ k=0 ak + an+1 = 1−an+1 1−a + an+1 = 1−an+1 1−a + an+1−an+2 1−a = 1−an+2 1−a . Da lim n→∞ 1−an+2 1−a = 1 1−a folgt der Grenzwert. Beispiel 3.13. Die Reihe ∞∑ k=1 1 kn konvergiert …

/.)!0 1)! 2345,768#. 49:%1;<<= >% ?A@1B @ )C @ &ED/GF1H=JI1CGKKMLNO P7QJR SUTV/W1T7PXZYQUP[Y]\U^H_`aSbUcd7\U^/a$Yea/f gh5ikjlnm<o/lqp/jnrtsu2rvwo1xyjlnm z {4|/|1}~|1}~$} E~{4~[1}~Ok~}~ u<o/rxJo1o/xJo7r2<H [...] °H) '±; ²E);)!&68# B K ¡O1;&## )! =! ¡O1;&## )! ³ ¡O1;&## )! ´ ¡O1;&## )! µ ¡O1;&## )! ¶ ·$&) ¸O) B ) F ¡O1;&## )! D ¡O1;&## )! I ¡O1;&## ,/68)) ¹ ¡O1;&## ,/68)) =JK ¡O1;&## )! ==! ¯&68 )! °H) '±; [...] ¯&68 ¸O) B ) = ¶ ¯&68 ¸O) B ) =JF ¡O1;&## )! =yD ¡O1;&## )! =JI ¯&68 )! = ¹ ¯&68 )! ³ K ¯&68 ¸O) B ) ³ =! ¡O1;&## )! ³³ ¡O1;&## )! ³´ ¡O1;&## ,/68)) º­»¼½¾1¿ÀÁ<Â]Ã ÄL @ )!4 Ä%)Å,7);)¢ @ )!##);)¸E)0 …

≡ bk1−pt 1 bk1 2 . . . bkrr ( d(b1v)[pt] ± ( b1v ∧ db1 b1 )[pt]) ≡ bk1−pt 1 bk1 2 . . . bkrr ( d(b1v)[pt] ± ( bp1v [p] ∧ db1 b1 + dxt−1 )[pt−1]) ≡ bk1−pt 1 bk1 2 . . . bkrr d(b1v)[pt] ± bp t−1 1 v[pt] [...] also 0 = p−1∑ i=1 i(−1)n−1βi−1vi + p−1∑ i=0 βi dv′i = βp−1 dv′p−1 + p−1∑ i=1 βi−1 ( (−1)n−1ivi + dv′i−1 ) , woraus wir dv′p−1 = 0 und vi = d ( (−1)n−1i−1v′i−1 ) ∈ dΩn−2(F ) für i = 1, . . . , p − 1 erhalten [...] v[pt] ∧db1 ± t−1∑ j=0 (dxj)[pj ]  ≡ bk1−pt 1 bk1 2 . . . bkrr d(b1v)[pt] ± ( bk1−1 1 bk1 2 . . . bkrr v [pt] ) ∧db1 + t−1∑ j=0 bk1−pt 1 bk1 2 . . . bkrr (d(±xj))[pj ] ≡ bk1−pt 1 bk1 2 . . . bkrr d(b1v)[pt] …

%%BeginResource: file Pscript_Win_Utils_L1 2.0 0 L2? not g{/rf{N rp L}b/fx{1 1 dtransform @ 0 ge{1 sub 1}{1 add -0.25}? 3 -1 $ @ 0 ge{1 sub 1}{1 add -0.25}? 3 1 $ 4 1 $ idtransform 4 -2 $ idtransform}b/BZ{ [...] 0 An C CTMrestore}b/rrp{/rad ~ |/y2 ~ |/x2 ~ |/y1 ~ |/x1 ~ | x2 x1 add 2 V y1 M x1 y1 x1 y2 rad arct x1 y2 x2 y2 rad arct x2 y2 x2 y1 rad arct x2 y1 x1 y1 rad arct C}b/RRp{CTMsave + +S/dyS ~ |/dxS ~ | dxS [...] (e)A -1.000 0 (n)A 8.700 0 32 -1.200 0 (? )D -1.100 0 (A)A (u)S -1.650 0 (f)A (g)S 0.350 0 (r)A (u)S -1.000 0 (n)A 7.500 0 32 (d )W -1.000 0 (v)A 1.000 0 (o)A 8.500 0 32 -1.000 0 (n )D 1.100 0 (t)A -1.000 …